Ja, dieses Thema wird gerade durchgekaut in meinem englischsprachigen Buch über Mathematik. Und ich bin nicht sehr zufrieden mit den Erklärungen dafür. Deshalb versuche ich mal die Gründe für die Rechenregeln darzulegen.
Prinzipiell gehen die Mathematiker einfach von den bestehenden Regeln aus und wollen dafür sorgen, dass die Prinzipien gleich bleiben.
Sprich wir müssen uns folgende Zusammenhänge verdeutlichen:
3 - 2 = 1
Die Regel lautet, wenn man die Differenz (1) von der größeren Zahl der Subtraktion (3) abzieht kommt die kleinere Zahl der Subtraktion (2) heraus.
Wenn diese Regel auch weiterhin gelten soll, dann muss gelten
3 - (-2) = 5, da 3 - 5 = -2
oder
3 - 3 = 0
Die Regel lautet, wenn zwei gleiche Zahlen subrahiert werden, kommt 0 heraus.
-3 - (-3) muss also gleich 0 sein, das geht aber nur, wenn -(-3) = +3 ist.
Wir können also festlegen, damit die Regeln, die bereits bekannt sind, weiterhin gelten, dass -(-b) = +b ist.
Bei der Multiplikation gilt dasselbe.
3 * 3 = 9
3 * (-3) = -9, da wir drei mal die Zahl -3 addieren, was gleich -3 - 3 - 3 ist. Das ist also schon mal klar.
Aber warum ist -3 * (-3) = 9?
Hier könnte man zuerst 3 * (-3) rechnen, was -9 wäre und dann stünde dort -(-9).
Bzw. wir schreiben -3 * (-3) um in (-1) * (3) * (-3). Wir könnten dann die Anweisung multipliziert mit -1 als folgende Anweisung interpretieren "Bilde die Gegenzahl von..." Wenn mit -1 multiplizieren, aber bedeutet, dass wir die Gegenzahl bilden müssen, so wäre (-1) * (-9) = 9, denn 9 ist die Gegenzahl von -9.
Demzufolge ist auch - (-9) oder (-1) * (-9) dasselbe. In beiden Fällen werden sich sämtliche Vorzeichen der Zahlen oder Variablen in der Klammer umkehren.
Also ist minus und minus plus (d. h. ein positives Ergebnis) und minus * minus ebenfalls plus (d. h. ein positives Ergebnis). Da wir jede Division als Multiplikation umformen können gilt dasselbe auch für die Division.