Die allgemeine Lösungsformel für Gleichungen der Form: x² + px + q = 0
ist laut dem genannten Heft: x1 und x2 = -p/2 +- Wurzel aus (p² - 4q) : 2. Das ist insofern leicht verwirrend, weil dies nicht die bekannte sog. pq-Formel ist, sondern der Fall der allgemeinen Formel für a = 1.
Warum das dennoch mit der aus der Schulzeit bekannten pq-Formel identisch ist, möchte ich nun kurz nachweisen.
Die eigentliche pq-Formel lautet: x1 und x2 = -p/2 +- Wurzel aus ((p/2)² - q)
x1 = -p/2 + Wurzel aus (p² - 4q) : 2 |+p/2
x1 + p/2 = Wurzel aus (p² - 4q) : 2 | ^2
(x1 + p/2)² = p²/4 - 4q/4
(x1 + p/2)² = p²/4 - q | Wurzel ziehen
x1 + p/2 = Wurzel aus (p²/4 - q) | -p/2
x1 = -p/2 + Wurzel aus (p²/4 - q)
statt (p²/4) kann man auch schreiben (p/2)²
=> x1 = -p/2 + Wurzel aus ((p/2)² - q)
Und für x2:
x2 = -p/2 - Wurzel aus (p² - 4q) : 2 | +p/2
x2 + p/2 = - Wurzel aus (p² - 4q) : 2 | ^2
(x2 + p/2)² = + (p²/4 - 4q/4) (Das Minus wird zu plus)
(x2 + p/2)² = + (p²/4 - q) | Wurzel ziehen
x2 + p/2 = - Wurzel aus (p²/4 - q) | - p/2 (Aus dem Vorzeichen muss jetzt wieder ein Minus werden, hat zwar nichts mit mathematischen Regeln zu tun, aber in dem Falle ist es so)
x2 = -p/2 - Wurzel aus (p²/4 - q)
Wieder gilt (p²/4) = (p/2)²
=> x2 = -p/2 - Wurzel aus ((p/2)² - q)
Damit wurde bewiesen, dass die Formel im Buch identisch ist mit der Formel, die man in der Schule lernt. Die sog. pq-Formel. Das ist das erste Mathebuch zu dem Thema, das ich gelesen habe, in dem nicht die pq-Formel stand. Dafür stand sie allerdings in dem Telekollegheft namens Grundkurs Mathematik.
