Telekollegheft Analyse Differentialrechnung

Habe mir dieses Buch oder Heft besser gesagt besorgt und bis jetzt ist mehr oder weniger alles in Ordnung, aber jetzt kommt die erste Merkwürdigkeit, die etwas aufstößt. Ich zitiere:

Bei der Redeweise "x geht bzw. strebt gegen unendlich" ist Vorsicht geboten! Man muss sich stets klar darüber sein: Unendlich ist keine Zahl, und ∞ ist kein Zeichen für eine Zahl. Alle Zahlen, und seien sie noch so groß, sind endlich. Mit ∞ kann man nicht rechnen wie mit Zahlen. Die Redeweise "x wächst über alle Grenzen" drückt besser aus, was mit x->∞ gemeint ist.

Okay, nein tut es nicht. Es drückt wesentlich schlechter aus was damit gemeint ist. Was solls. Also sagen wir weiterhin x geht gegen unendlich, weil das korrekt ist und alles andere speziell, was der dort geschrieben hat, Schwachsinn hoch unendlich ist.

So jetzt gehts weiter. Ich habe ein Kapitel erreicht mit der Überschrift Grenzwertsätze. Und er bringt auch viele Beispiele. Das Problem ist nur, dass er nicht einmal sagt, was ein Grenzwertsatz konkret ist und er auch nicht einmal eine allgemeine Formel verwendet. Dafür ist das Internet gut. Wenn solche Lücken in diesen Büchern sind, dass man das dann nachschlagen kann. Hoffentlich relativ verständlich.

Ein Grenzwertsatz ist nichts weiter als ein Verfahren wie man Terme so vereinfachen kann, dass man die Grenzwerte sofort ablesen kann. Oder allgemeiner, dass man Folgen oder Reihen oder Funktionsterme miteinander addieren kann, subrahieren kann, dividieren kann und multiplizieren kann und dasselbe mit ihren einzelnen Grenzwerten geschieht. Also die Summe der Grenzwerte zweier Folgen oder Funktionsterme hat denselben Grenzwert als wenn ich die beiden Funktionsterme addiere und dann ihren Grenzwert ermittle.

Wenn ich ein Kapitel mache, sollte ich das auch irgendwo mal erwähnen. Und damit man das wirklich versteht, benötigt man auch Beispiele und zwar bevor man anfängt allgemein zu definieren. Das ist schon richtig. Und als Beispiel nehmen wir mal:

wir haben einen Funktionsterm f(x) = 1/x, dann ist der Grenzwert von 1/x, wenn x gegen unendlich geht, logischerweise 0.

und wir haben den Funktionsterm g(x) = 3, dann ist der Grenzwert logischerweise 3.

Wenn man diese beiden Terme jetzt addiert oder die Funktionen addiert käme heraus h(x) = 3 + 1/x. Dann ist der Grenzwert immer noch 3, nämlich die Summe der beiden Grenzwerte von f(x) und g(x), also 0+3 = 3.

Das kann aber auch anders dortstehen, zum Beispiel: h(x) = (3x+1)/x

Dann sieht man nicht sofort den Grenzwert dieses Termes, wenn x gegen unendlich geht. Hier bringt man dann den Term in die Form 3 + 1/x und kann mit Hilfe der Tatsache, dass sich die Einzelgrenzwerte addieren oder wenn die beiden Terme 3 und 1/x mit -, * oder / verbunden entsprechend verhalten mit der entsprechenden Rechenvorschrift. Was ja eigentlich logisch ist und deshalb nicht irgendwie bewiesen werden muss.

Es gibt auch Terme, die keinen Grenzwert haben, zum Beispiel f(x) = x. Weil das x gegen unendlich geht, wenn x gegen unendlich geht. Es nähert sich hier nie irgendeiner Zahl oder einer Grenze an, sondern steigt für alle Ewigkeit. Das heißt, damit könnte man nichts anfangen, wenn man einen Grenzwert ermitteln will bzw. man müsste feststellen dieser Term hat keinen Grenzwert, der niemals überschritten oder unterschritten wird.

Statt geht gegen unendlich, sagt man auch konvergiert gegen unendlich, was in dem Falle dasselbe bedeutet nur auf lateinisch. konkret gesagt bedeutet es "sich annähern". Und was das Wort Konvergenz bedeutet, wird ja auch nie erwähnt in einem Mathematikunterricht. Sollte man vielleicht, weil es ja ein Fremdwort ist.

Wenn man wirklich das Wort unendlich vermeiden möchte, dann könnte man auf Deutsch und präzise wie es die deutsche Sprache gestattet formulieren, x steigt in alle Ewigkeit, statt x geht gegen unendlich. Weil das tatsächlich so klingt als wenn es irgendwann aufhört, aber das tut es nicht, x steigt in alle Ewigkeit ist vermutlich präziser.