Ich lese immer noch das Buch Telekolleg Mathematik und es geht in dem aktuellen Artikel darum, die sog. Reellen Zahlen einzuführen. Und die Reellen Zahlen sind die Rationalen Zahlen zzgl. die Irrationalen Zahlen. Und Irrationale Zahlen sind alle Zahlen, die nicht als Bruch darstellbar sind.
Im Buch steht jetzt folgendes, die Annahme lautet:
Wurzel aus 2 = n/m, wobei man aus nicht erklärten Gründen davon ausgeht, dass n/m ein bereits gekürzter Bruch ist und m ungleich 1 ist. m und n sind natürliche Zahlen.
Als nächster Schritt werden beide Seiten der Gleichung quadriert, so dass steht:
2 = n²/m²
Das soll der Beweis sein, dass Wurzel 2 keine rationale Zahl ist. Und in dieser Form mit dieser Begründung, kann man das nicht als Beweis ansehen. Erst mal ergänze ich diese Behauptung mit einigen eigenen Überlegungen von mir persönlich, da im Moment eigentlich erst mal noch gar nichts klar ist. Zuerst wieso muss die Lösung ein echter Bruch sein? Also wieso darf m nicht gleich 1 sein. Das liegt daran, weil die Wurzel aus 2 auf jeden Fall keine natürliche Zahl sein kann. Das weiß ich. Da 1*1 = 1 und 2*2 = 4. Und das ist beides nicht 2. Also kann die Lösung nur ein Bruch sein. Ein echter Bruch, der nicht kürzbar ist und keine natürliche Zahl ist. Und erst wenn man das gesagt hat und einem das bewusst ist, kann man diesen Ansatz erst mal überhaupt verstehen. Die Frage ist allerdings, wieso schreiben die das in dem Buch nicht so, wie ich es hier erklärt habe, also verständlich und nachvollziehbar sowie komplett. Wieso muss der Bruch jetzt gekürzt sein? Nun, weil man jeden Bruch kürzen kann oder aber nicht, aber am Ende steht ein Bruch, der nicht kürzbar ist. Die Frage ist für mich aber immer noch, was das beweisen soll.
Wir müssen weitere eigene Zusatzüberlegungen anstellen, wenn wir diesen "Beweis" verstehen wollen. Wir können 2 = n²/m² auch schreiben als: 2 = n/m * n/m. Das würde bedeuten, dass es einen Bruch gibt, der mit sich selbst multipliziert 2 ergibt. Genau das wollten wir ja beweisen. Wir sehen immer noch nicht die Lösung, also müssen wir weiter umschreiben n² = 2m², nur dann kann diese Gleichung überhaupt aufgehen. Wenn n², aber gleich 2m² ist, dann würde das bedeuten, es muss eine natürliche Zahl geben, die mit sich selbst multipliziert die hälfte ergibt wie eine andere natürliche Zahl eine andere Zahl, die quadriert wurde.
Oder anders ausgedrückt n² = 2m². Und gibt es so eine natürliche Zahl? n² muss eine natürliche Zahl sein, weil wenn man eine Natürliche Zahl mit sich selbst multipliziert entsteht wieder eine natürliche Zahl. Es gibt nur eine Möglichkeit für n. Und zwar muss das so aussehen n = Wurzel aus 2 * m. Nur dann entsteht die Zahl 2m². Das muss unser n sein. Wir wissen aber - siehe oben, dass Wurzel aus 2 auf jeden Fall keine natürliche Zahl ist. Wenn ich jetzt eine natürliche Zahl mit keiner natürlichen Zahl multipliziere, kommt auf jeden Fall keine natürliche Zahl heraus. Und das ist der eigentliche Beweis. Es gibt kein n mit diesen Eigenschaften. Und das heißt, dass die Zahl Wurzel aus zwei nicht als Bruch darstellbar ist. Nee, das ist auch nicht der Beweis, weil es gibt durchaus Zahlen, wo es funktioniert. 3,5 *2 = 7. Also das ist noch kein Beweis. Ehrlich gesagt bin ich dann überfragt. ich weiß nicht wieso 2 = n²/m² beweisen soll, dass Wurzel aus 2 irrational. Weiß ich nicht. Keine Ahnung.
Die Frage ist wer das verstehen soll? Außer ein Supergenie wie ich vielleicht. Ein Schüler beispielsweise kann das nicht verstehen. Ich glaube nicht, dass der das verstehen kann. Eigentlich müsste das im Buch so ähnlich stehen wie ich es hier geschrieben habe, damit man den Ansatz überhaupt versteht bzw. überhaupt einen Beweis erkennen kann. Das Buch ist sehr, sehr schlecht.
Es geht ja hier nur um so etwas Simples wie den Beweis dafür, dass es Zahlen gibt, die nicht als rationale Zahl darstellbar sind. Also nicht als Bruchzahl darstellbar sind. Damit man die Menge der Reellen Zahlen einführen kann. Bzw. die Menge der Irrationalen Zahlen. Das ist schon beachtlich. Weil mit Mathematik hat das eigentlich noch nichts zu tun. Aber es erfüllt seinen Zweck, nämlich einen extrem einfachen und leichten Sachverhalt absolut unverständlich zu präsentieren, das wird mit Sicherheit zu einiger Verwirrung beitragen.
Und das scheint ja auch der tiefere Sinn dieser komischen "Lehrbücher" zu sein.